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总体比率指具有某种特征的个体所占有的比值。例如，学生中男生的比值，广告的点击率等。

比率检验用于检测总体比率是否与预期的假设一致。

比率检验可以分为如下两类:

单总体比率检验
双总体比率检验

关于比率检验，说明如下 :

比率检验的原假设为等值假设，备择假设为不等值假设(双边检验)
样本比率服从二项分布。当满足一定条件时，二项分布近似于正态分布
比率检验通过构造 Z 统计量来实现

前提条件：

样本容量充分大（n>30）
np≥5
n(1-p)≥5

案例：A 公司计划提高广告转化率，于是，公司老板聘请高级设计师小马，来对广告页面进行优化，进而提高转化率。小马设计完毕后，信誓旦旦立下军令状，扬言将广告页面转化率提升到 10%。一周之后，公司对小马的业绩进行考核，广告点击 500 次，转换用户 45 人。小马是否能算完成任务了呢？

import numpy as np
from scipy import stats

p = 45 / 500  # 样本比率
pi_0 = 0.1  # 总体比率
n = 500  # 样本容量
Z = (p - pi_0) / np.sqrt(pi_0 * (1 - pi_0) / n)  # 计算 Z 统计量
print("Z 统计量 ", Z)
P = stats.norm.cdf(Z)
print("P-Value：", P)

P>0.05，维持原假设，没有充分的理由证明小马没有完成任务。

前提条件：

n1p1≥5
n1(1-p1)≥5
n2p2≥5
n2(1-p2)≥5

案例：A 公司采用两种方式来对自己的训练营进行推广，A 方式成本较低但转化率也较低，B 方式成本较高但转化率也较高。现 A 公司领导对两种推广方式进行评估，本着降低成本的原则，现决定：除非 B 方式比 A 方式转化率高 2% 以上，才采用 B 方式，否则采用 A 方式。现分别采用两种推广方式进行测试，A 方式引进流量 1052 人，转化 13 人，B 方式引进流量 402 人，转化 10 人，请问 A 公司应该采用哪种方式来推广训练营？

原假设：pl-p2≤0.02(B 方式 p1 没有比 A 方式 p2 转化率多 2% 以上)
备择假设：p1-p2>0.02(B 方式比 A 方式转化率多 2% 以上)

## 样本比率
p1 = 10 / 402
p2 = 13 / 1052
## 定义比率的差值
d0 = 0.02
## 定义样本容量
n1 = 402
n2 = 1052
## 计算分母部分
denominator = np.sqrt((p1 * (1 - p1) / n1) + (p2 * (1 - p2) / n2))
Z = (p1 - p2 - d0) / denominator
print("Z 统计量：", Z)
P = stats.norm.sf(Z)
print("P-Value：", P)

P>0.05，维持原假设，没有充分的理由证明 B 方式比 A 方式转化率多 2% 以上，所以还是用 A 方式省钱。

方差分析(ANOVA-Analysis of Variance)，用于检测多个总体的均值是否相同(存在差异)。

方差分析可以分为两类:

单因素方差分析
多因素方差分析

关于方差分析，说明如下：

方差分析原假设为多个总体的均值相同，备择假设为至少两个总体的均值不同
方差分析通过构造 F 统计量来实现
F 统计量服从 F 分布

单因素方差分析用来分析两个或多个样本 (来自不同总体) 的均值是否相等，进而可以用来检验分类变量与连续变量之间是否相关。检验方式为，根据分类变量的不同取值，将样本进行分组，然后根据每个分组的均值进行检验。

单因素方差分析的前提条件如下:

样本观测值之间独立
每个样本来自正态分布的总体
总体之间的方差是相同的

案例：某公司领导在年终对部门进行评估，在一年内，A，B 与 C 三个部门共收到投诉如下：

部门	投诉量
A	5
B	3
B	4
C	6
A	2

假设投诉量服从正态分布，请问三个部门的投诉量是否相同？

np.random.seed(0)
## 模拟随机生成 3 个部门的投诉数据
department_a = np.random.randint(5, 20, size=45)
department_b = np.random.randint(3, 15, size=60)
department_c = np.random.randint(7, 18, size=55)
## 进行 levene 检验，判断 3 个组的方差是否齐性
stats.levene(department_a, department_b, department_c)  # pvalue=0.42，说明方差相同
## 进行单因素方差分析
stats.f_oneway(department_a, department_b, department_c)

P<0.05，拒绝原假设，说明至少两个总体的均值不同，意味着这 3 个部门的投诉量是不一样的。

回归分析是用来评估变量之间关系的统计过程。用来解释自变量 X 与因变量 Y 的关系。即当自变量 X 发生改变时，因变量 Y 会如何发生改变。

这里以房屋面积 (x) 与房屋价格 (y) 为例，显而易见，二者是一种线性关系，房屋价格正比于房屋面积，我
们假设比例为 w：ŷ = w * x + b。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
## 用来切分训练集与测试集
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_iris
## 设置输出的精度，默认为 8
np.set_printoptions(precision=2)
plt.rcParams["font.family"] = "SimHei"
plt.rcParams["font.size"] = 12
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

iris = load_iris()
## 花瓣长度作为 x，宽度作为 y
x, y = iris.data[:, 2].reshape(-1, 1), iris.data[:, 3]

lr = LinearRegression()
## 将数据集划分为训练集与测试集
## test_size：测试集大小
## random_state：随机种子
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size=0.25, random_state=0)

## 使用训练集训练模型
lr.fit(x_train, y_train)
print(" 权重：", lr.coef_)
print(" 截距：", lr.intercept_)
## 从训练集学习得到模型的参数（w 与 b），确定方程，就可以进行预测
y_hat = lr.predict(x_test)
print(" 实际值：", y_test[:5])
print(" 预测值：", y_hat[:5])

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(x_train, y_train, c="orange", label=" 训练集 ")  # 散点图
plt.scatter(x_test, y_test, c="g", marker="D", label=" 测试集 ")
plt.plot(x, lr.predict(x), "r-")
plt.legend()
plt.xlabel(" 花瓣长度 ")
plt.ylabel(" 花瓣宽度 ")

plt.figure(figsize=(15, 6))
plt.plot(y_test, label=" 真实值 ", color="r", marker="o")
plt.plot(y_hat, label=" 预测值 ", ls="--", color="g", marker="o")
plt.xlabel(" 测试集数据序号 ")
plt.ylabel(" 数据值 ")
plt.legend()

当我们建立好模型后，模型的效果如何呢？对于回归模型，可以采用如下的指标来进行衡量：

MSE
RMSE
MAE
R^2

R^2 为决定系数，用来表示模型拟合性的分值，值越高表示模型拟合性越好，在训练集中取值范围为 [0,1]。在测试集(未知数据) 中取值范围为(-∞,1]。

from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error, r2_score

print(" 均方误差（MSE）：", mean_squared_error(y_test, y_hat))
print(" 根均方误差（RMSE）：", np.sqrt(mean_squared_error(y_test, y_hat)))
print(" 平均绝对值误差（MAE）：", mean_absolute_error(y_test, y_hat))

print(" 训练集 R^2：", r2_score(y_train, lr.predict(x_train)))
print(" 测试集 R^2：", r2_score(y_test, y_hat))
## score 求解的就是 R^2 的值
print(" 训练集 R^2：", lr.score(x_train, y_train))
print(" 测试集 R^2：", lr.score(x_test, y_test))

现实中的数据可能是比较复杂的，自变量也很可能不只一个。例如，影响房屋价格也很可能不只房屋面积一个因素，可能还有距地铁距离，距市中心距离，房间数量，房屋所在层数，房屋建筑年代等诸多因素。不过，这些因素，对房屋价格影响的力度 (权重) 是不同的，例如，房屋所在层数对房屋价格的影响就远不及房屋面积，因此，我们可以使用多个权重来表示多个因素与房屋价格的关系：

ŷ = w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 + ··· + wn xn + b

data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep="s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]
x, y = data, target

df = pd.DataFrame(np.concatenate([x, y.reshape(-1, 1)], axis=1), columns=["CRIM", "ZN", "INDUS", "CHAS", "NOX", "RM", "AGE", "DIS", "RAD", "TAX", "PTRATIO", "B", "LSTAT", "MEDV"])
df.head()

x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size=0.25, random_state=0)
## 使用训练集训练模型
lr.fit(x_train, y_train)
print(" 权重：", lr.coef_)
print(" 截距：", lr.intercept_)
y_hat = lr.predict(x_test)
print(" 训练集 R^2：", lr.score(x_train, y_train))
print(" 测试集 R^2：", lr.score(x_test, y_test))